Para geometer segera setelah Pythagoras (c. 580-c. 500 bc) berbagi intuisi yang tidak masuk akal bahwa dua panjang apapun adalah "sepadan" (yaitu, terukur) dengan kelipatan bilangan bulat dari beberapa unit umum. Dengan kata lain, mereka percaya bahwa seluruh (atau menghitung) bilangan, dan rasionya (bilangan rasional atau pecahan), cukup untuk menggambarkan kuantitas apa pun. Oleh karena itu, geometri mudah digabungkan dengan kepercayaan Pythagoras, yang prinsip terpentingnya adalah bahwa realitas pada dasarnya adalah matematika dan berdasarkan bilangan bulat. Relevansi khusus adalah manipulasi rasio, yang pada awalnya terjadi sesuai dengan aturan yang dikonfirmasi oleh aritmatika. Penemuan surds (akar kuadrat dari angka yang bukan kuadrat) oleh karena itu merusak Pythagoras: tidak lagi bisa a : b =c : d (di mana a dan b , katakanlah, relatif prima) menyiratkan bahwa a = n c atau b = n d , di mana n adalah bilangan bulat. Menurut legenda, penemu Pythagoras dengan jumlah yang tak dapat dibandingkan, sekarang dikenal sebagai bilangan irasional, dibunuh oleh saudara-saudaranya. Tapi sulit untuk menyimpan rahasia dalam sains.
Orang Yunani kuno tidak memiliki aljabar atau angka Hindu-Arab. Geometri Yunani hampir secara eksklusif didasarkan pada penalaran logis yang melibatkan diagram abstrak. Penemuan incommensurables, oleh karena itu, tidak lebih dari mengganggu gagasan Pythagoras tentang dunia; itu menyebabkan kebuntuan dalam penalaran matematis — kebuntuan yang bertahan sampai ahli ukur waktu Plato memperkenalkan definisi proporsi (rasio) yang menyumbang tak terbandingkan. Matematikawan utama yang terlibat adalah Theaetetus Athena (c. 417-369 sM), kepada siapa Plato mendedikasikan seluruh dialog, dan Eudoxus dari Cnidus yang agung (c. 390-c. 340 sM), yang perlakuannya terhadap yang tidak dapat dibandingkan bertahan sebagai Buku V dari Elemen Euclid .
Euclid memberikan bukti sederhana berikut ini. Sebuah persegi dengan panjang sisi 1 unit harus, menurut teorema Pythagoras, memiliki diagonal d yang memenuhi persamaan d 2 = 12 + 12 = 2. Anggaplah, sesuai dengan ekspektasi Pythagoras, bahwa diagonal bisa dinyatakan sebagai rasio dua bilangan bulat, katakanlah p dan q , dan bahwa p dan q relatif prima, dengan p > q — dengan kata lain, rasio tersebut telah direduksi menjadi bentuk yang paling sederhana. Jadi p 2 / q 2 = 2. Kemudian p 2 = 2 q 2, jadi pharus bilangan genap, katakanlah 2 r . Memasukkan 2 r untuk p dalam persamaan terakhir dan menyederhanakannya, kita memperoleh q 2 = 2 r 2, dari mana q juga harus genap, yang bertentangan dengan asumsi bahwa p dan q tidak memiliki faktor persekutuan selain kesatuan. Oleh karena itu, tidak ada rasio bilangan bulat — yaitu, tidak ada "bilangan rasional" menurut terminologi Yunani — yang dapat menyatakan akar kuadrat 2. Panjangnya sehingga persegi yang terbentuk di atasnya tidak sama dengan bilangan kuadrat (mis., Akar pangkat dua dari √ 2 , Akar kuadrat dari √ 3, Akar kuadrat dari √ 5, Akar kuadrat dari √ 6,…) disebut “bilangan irasional”.
