Metalogic , studi dan analisis semantik (hubungan antara ekspresi dan makna) dan sintaks (hubungan antar ekspresi) dari bahasa formal dan sistem formal. Ini terkait dengan, tetapi tidak termasuk, perlakuan formal bahasa alami. (Untuk pembahasan tentang sintaksis dan semantik bahasa natural, lihat linguistik dan semantik.)
Sifat, asal, dan pengaruh metalogic
Sintaks dan semantik
Bahasa formal biasanya memerlukan seperangkat aturan formasi — yaitu, spesifikasi lengkap dari jenis ekspresi yang akan dihitung sebagai formula yang dibentuk dengan baik (kalimat atau ekspresi bermakna), dapat diterapkan secara mekanis, dalam arti bahwa mesin dapat memeriksa apakah seorang kandidat memenuhi persyaratan. Spesifikasi ini biasanya berisi tiga bagian: (1) daftar simbol primitif (unit dasar) yang diberikan secara mekanis, (2) kombinasi tertentu dari simbol-simbol ini, dipilih secara mekanis sebagai pembentuk kalimat sederhana (atomik), dan (3) satu set klausa induktif — induktif karena mereka menetapkan bahwa kombinasi alami dari kalimat tertentu yang dibentuk oleh penghubung logis seperti disjungsi "atau", yang dilambangkan dengan "∨"; “Tidak,” melambangkan “∼”; dan "untuk semua," dilambangkan dengan "(∀)," lagi-lagi kalimat. ["(∀)" disebut pembilang,seperti juga "ada beberapa," dilambangkan dengan "(∃)".] Karena spesifikasi ini hanya berkaitan dengan simbol dan kombinasinya dan bukan dengan artinya, spesifikasi ini hanya melibatkan sintaks bahasa.
Penafsiran bahasa formal ditentukan dengan merumuskan penafsiran kalimat atom dari bahasa yang berkenaan dengan domain objek — yaitu, dengan menetapkan objek domain mana yang dilambangkan dengan konstanta bahasa mana dan hubungan serta fungsi mana yang dilambangkan dengan huruf predikat dan simbol fungsi. Nilai kebenaran (apakah "benar" atau "salah") dari setiap kalimat dengan demikian ditentukan sesuai dengan interpretasi standar dari hubungan logis. Misalnya, p · q benar jika dan hanya jika p dan qbenar. (Di sini, titik berarti konjungsi "dan", bukan operasi perkalian "waktu".) Jadi, dengan interpretasi apa pun dari bahasa formal, konsep kebenaran formal diperoleh. Kebenaran, makna, dan denotasi adalah konsep semantik.
Sebagai tambahan, jika sistem formal dalam bahasa formal diperkenalkan, konsep sintaksis tertentu muncul — yaitu aksioma, aturan inferensi, dan teorema. Kalimat-kalimat tertentu dipilih sebagai aksioma. Ini adalah teorema (dasar). Setiap aturan inferensi adalah klausa induktif, yang menyatakan bahwa, jika kalimat tertentu adalah teorema, maka kalimat lain yang terkait dengannya dengan cara yang sesuai juga merupakan teorema. Jika p dan "baik not- p atau q " (∼ p ∨ q ) adalah teorema, misalnya, maka q adalah teorema. Secara umum, teorema adalah aksioma atau kesimpulan dari aturan inferensi yang premisnya adalah teorema.
Pada tahun 1931 Kurt Gödel membuat penemuan mendasar bahwa, di sebagian besar sistem formal yang menarik (atau signifikan), tidak semua kalimat yang benar adalah teorema. Berdasarkan temuan ini, semantik tidak dapat direduksi menjadi sintaksis; dengan demikian sintaksis, yang terkait erat dengan teori bukti, harus sering dibedakan dari semantik, yang terkait erat dengan teori model. Secara kasar, sintaksis — sebagaimana dipahami dalam filsafat matematika — adalah cabang teori bilangan, dan semantik adalah cabang dari teori himpunan, yang berhubungan dengan sifat dan hubungan agregat.
Secara historis, ketika sistem logika dan aksiomatik menjadi semakin tepat, muncullah, sebagai tanggapan atas keinginan untuk kejelasan yang lebih besar, kecenderungan untuk lebih memperhatikan fitur sintaksis bahasa yang digunakan daripada berkonsentrasi secara eksklusif pada makna intuitif. Dengan cara ini, logika, metode aksiomatik (seperti yang digunakan dalam geometri), dan semiotik (ilmu umum tanda) berkumpul menuju metalogic.
Metode aksiomatik
Sistem aksiomatik yang paling terkenal adalah Euclid untuk geometri. Dalam cara yang mirip dengan Euclid, setiap teori ilmiah melibatkan tubuh konsep yang bermakna dan kumpulan pernyataan yang benar atau diyakini. Makna sebuah konsep sering kali dapat dijelaskan atau didefinisikan dalam istilah konsep lain, dan, demikian pula, kebenaran suatu pernyataan atau alasan untuk mempercayainya biasanya dapat diklarifikasi dengan menunjukkan bahwa itu dapat disimpulkan dari pernyataan tertentu lainnya yang sudah diterima. Metode aksiomatik berlangsung dalam urutan langkah-langkah, dimulai dengan serangkaian konsep dan proposisi primitif dan kemudian mendefinisikan atau menyimpulkan semua konsep dan proposisi lain dalam teori dari mereka.
Kesadaran yang muncul pada abad ke-19 bahwa terdapat kemungkinan geometri yang berbeda menyebabkan keinginan untuk memisahkan matematika abstrak dari intuisi spasial; Akibatnya, banyak aksioma tersembunyi ditemukan dalam geometri Euclid. Penemuan ini diatur ke dalam sistem aksiomatik yang lebih ketat oleh David Hilbert dalam Grundlagen der Geometrie (1899; The Foundations of Geometry ). Namun, dalam sistem ini dan yang terkait, penghubung logis dan propertinya diterima begitu saja dan tetap implisit. Jika logika yang terlibat dianggap sebagai kalkulus predikat, ahli logika kemudian dapat sampai pada sistem formal seperti yang dibahas di atas.
Setelah sistem formal tersebut diperoleh, dimungkinkan untuk mengubah masalah semantik tertentu menjadi masalah sintaksis yang lebih tajam. Telah ditegaskan, misalnya, bahwa geometri non-Euclidean haruslah sistem yang konsisten dengan dirinya sendiri karena mereka memiliki model (atau interpretasi) dalam geometri Euclidean, yang pada gilirannya memiliki model dalam teori bilangan real. Mungkin kemudian ditanyakan, bagaimanapun, bagaimana itu diketahui bahwa teori bilangan real konsisten dalam arti tidak ada kontradiksi yang dapat diturunkan di dalamnya. Jelas, pemodelan hanya dapat membangun konsistensi relatif dan harus berhenti di suatu tempat. Setelah sampai pada sistem formal (katakanlah, bilangan real), masalah konsistensi kemudian memiliki fokus yang lebih tajam dari masalah sintaksis:bahwa mempertimbangkan semua bukti yang mungkin (sebagai objek sintaksis) dan menanyakan apakah ada di antara mereka yang pernah (katakanlah) 0 = 1 sebagai kalimat terakhir.
Sebagai contoh lain, pertanyaan apakah suatu sistem bersifat kategorikal — yaitu, apakah pada dasarnya menentukan interpretasi unik dalam arti bahwa dua interpretasi isomorfik — dapat dieksplorasi. Pertanyaan semantik ini sampai batas tertentu dapat digantikan oleh pertanyaan sintaksis terkait, yaitu pertanyaan kelengkapan: apakah dalam sistem ada kalimat yang memiliki nilai kebenaran tertentu dalam interpretasi yang dimaksudkan sehingga baik kalimat itu maupun negasinya bukanlah sebuah teorema. Meskipun sekarang diketahui bahwa konsep semantik dan sintaksis berbeda, persyaratan yang tidak jelas bahwa suatu sistem harus “memadai” dijelaskan oleh kedua konsep tersebut. Studi tentang pertanyaan sintaksis tajam seperti konsistensi dan kelengkapan, yang ditekankan oleh Hilbert, dinamai "metamathematics" (atau "teori bukti") olehnya sekitar tahun 1920.
