Teorema Pythagoras menyatakan bahwa jumlah persegi pada kaki segitiga siku-siku sama dengan kuadrat pada sisi miring (sisi yang berlawanan dengan sudut siku-siku) —dalam notasi aljabar yang sudah dikenal, a 2 + b 2 = c 2. Orang Babilonia dan Mesir telah menemukan beberapa tripel integer ( a , b , c ) yang memuaskan hubungan tersebut. Pythagoras (c. 580 – c. 500 SM) atau salah satu pengikutnya mungkin adalah orang pertama yang membuktikan teorema yang menyandang namanya. Euclid (c. 300 SM) menawarkan demonstrasi cerdas dari teorema Pythagoras dalam Elemennya , yang dikenal sebagai bukti Kincir Angin dari bentuk gambar.
- Menggambar kotak di sisi kanan Δ A B C .
- B C H dan A C K adalah garis lurus karena ∠ A C B = 90 °.
- ∠ E A B = ∠ C A I = 90 °, berdasarkan konstruksi.
- ∠ B A I = ∠ B A C + ∠ C A I = ∠ B A C + ∠ E A B = ∠ E A C , oleh 3.
- A C = A I dan A B = A E , dengan konstruksi.
- Oleh karena itu, Δ B A I ≅ Δ E A C , dengan teorema sisi-sudut-sisi (lihat Sidebar: Jembatan Keledai), seperti yang disorot pada bagian (a) gambar.
- Menggambar C F sejajar dengan B D .
- Persegi panjang A G F E = 2Δ A C E . Hasil yang luar biasa ini berasal dari dua teorema pendahuluan: (a) luas semua segitiga pada alas yang sama, yang simpul ketiganya terletak di manapun pada garis yang diperpanjang tanpa batas sejajar dengan alas, adalah sama; dan (b) luas segitiga adalah setengah dari semua jajaran genjang (termasuk persegi panjang) dengan alas dan tinggi yang sama.
- Kuadrat A I H C = 2Δ B A I , dengan teorema jajaran genjang yang sama seperti pada langkah 8.
- Oleh karena itu, persegi panjang A G F E = kuadrat A I H C , dengan langkah 6, 8, dan 9.
- ∠ D B C = ∠ A B J , seperti pada langkah 3 dan 4.
- B C = B J dan B D = A B , dengan konstruksi seperti pada langkah 5.
- Δ C B D ≅ Δ J B A , seperti pada langkah 6 dan disorot pada bagian (b) gambar.
- Persegi Panjang B D F G = 2Δ C B D , seperti pada langkah 8.
- Square C K J B = 2Δ J B A , seperti pada langkah 9.
- Oleh karena itu, persegi panjang B D F G = persegi C K J B , seperti pada langkah 10.
- Persegi A B D E = persegi panjang A G F E + persegi panjang B D F G , menurut konstruksi.
- Oleh karena itu, kuadrat A B D E = kuadrat A I H C + kuadrat C K J B , dengan langkah 10 dan 16.
Buku pertama dari Elemen Eucliddimulai dengan definisi titik dan diakhiri dengan teorema Pythagoras dan kebalikannya (jika jumlah kuadrat di dua sisi segitiga sama dengan persegi di sisi ketiga, itu harus segitiga siku-siku). Perjalanan dari definisi khusus ke pernyataan matematika abstrak dan universal ini telah diambil sebagai simbol dari perkembangan kehidupan yang beradab. Contoh yang mencolok dari identifikasi penalaran Euclid dengan ekspresi pemikiran tertinggi adalah proposal yang dibuat pada tahun 1821 oleh fisikawan dan astronom Jerman untuk membuka percakapan dengan penduduk Mars dengan menunjukkan kepada mereka klaim kami atas kematangan intelektual. Semua yang perlu kami lakukan untuk menarik minat dan persetujuan mereka, diklaim, adalah membajak dan menanam ladang besar dalam bentuk diagram kincir angin atau, seperti yang diusulkan orang lain,untuk menggali kanal yang sugestif dari teorema Pythagoras di Siberia atau Sahara, mengisinya dengan minyak, membakarnya, dan menunggu tanggapan. Eksperimen belum dicoba, meninggalkan keraguan apakah penghuni Mars tidak memiliki teleskop, tidak ada geometri, atau tidak ada keberadaan.
