Bukti formula Archimedes untuk luas dan volume menetapkan standar untuk perlakuan ketat terhadap batas hingga zaman modern. Tetapi cara dia menemukan hasil ini tetap menjadi misteri sampai tahun 1906, ketika salinan risalahnya yang hilang, Metode , ditemukan di Konstantinopel (sekarang Istanbul, Turki).
Ternyata Archimedes telah menggunakan metode yang kemudian dikenal sebagai prinsip Cavalieri, yang melibatkan pemotongan padatan (yang volumenya akan dibandingkan) dengan keluarga bidang paralel. Secara khusus, jika setiap bidang dalam keluarga memotong dua benda padat menjadi penampang melintang dengan luas yang sama, maka kedua benda padat tersebut harus memiliki volume yang sama ( lihat gambar). Orang dapat menganggap benda padat sebagai penjumlahan dari bagian-bagian seperti itu, yang disebut tak terpisahkan. Archimedes sebenarnya menguraikan prinsip ini, tidak hanya membandingkan bagian-bagian terkait di suatu area tetapi juga "menyeimbangkan" mereka dengan hukum pengungkit.
Gagasan mengiris dengan bidang paralel ditemukan kembali di Tiongkok, dan bukti sederhana bahwa volume bola adalah dua pertiga volume silinder pembatasnya, dengan menggunakan area saja, diberikan oleh Liu Hui pada tahun 263 M. baris-baris ini diberikan oleh matematikawan Italia Bonaventura Cavalieri dalam bukunya Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promota (1635; “Metode Tertentu untuk Pengembangan Geometri Baru dari Indivisibles Berkelanjutan”). Cavalieri mengamati apa yang terjadi ketika belahan bumi dan silinder pembatasnya dipotong oleh keluarga bidang yang sejajar dengan alas silinder: setiap bagian bola yang berbentuk cakram memiliki luas yang sama dengan bagian annular yang sesuai dari pelengkap kerucut di silinder ( lihatgambar). Rumus volume bola kemudian mengikuti langsung dari teorema Eudoxus bahwa volume kerucut adalah sepertiga volume silinder pembatasnya.
